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标题: 神奇的数学(IX) – 聪明的外星人和追不上乌龟的兔子 [打印本页]

作者: 行者之心 时间: 3-9-2020 22:16
标题: 神奇的数学(IX) – 聪明的外星人和追不上乌龟的兔子

2020-09-03

上次讲到一大堆无穷多，我们再回过头看看趋近无穷多时会有什么有趣的现象。下面讲两个小故事：

故事一，聪明的外星人
一次一个外星人造访地球，他们的文明虽然更高级，但人类的文明也有自己的特点，所以深深吸引了他。在他离开地球准备返回自己星球时，他说他要把全地球的知识都要带回自己的星球。然而他所乘坐的飞碟比一辆轿车大不了多少，地球上的科学家都说，我们地球人类几千年积攒的知识，地球上最大的图书馆都不一定装得下，你小小的飞碟有多大空间，怎么能装得下。

这个外星人说，不难，于是从身上取出一个棍子。他解释说，我可以把人类全部知识包括所有图书馆的全部书籍都编成码，这个数码当然很长很长。我在这一长串数字前面加上一个0和一个小数点，于是全部人类知识就等同于一个比0大比一小的数字，我们不妨把这个数称为x。我在这根信息棒上标记一个点，让这根棒前端的长度比起整个棒的长度正好等于x。那么我只需要把这根信息棒带回去，就等于带回了整个地球文明。

地球上的科学家们听到这样一个简单的办法可以携带如此多的信息都感觉不可思议。

故事二，追不上乌龟的兔子
龟兔赛跑中贪睡的兔子输给了乌龟，很不服气，想找个机会把面子挣回来。然而一个聪明人见到兔子说，一但乌龟领先了，你就再也追不上它。兔子说怎么可能，我的速度是乌龟的十倍，乌龟跑一米的时间，我都能跑十米，我怎么会追不上它。

这个人耐心地解释说，比如乌龟在你前面100米。等你跑到乌龟当前的位置时，乌龟又往前跑了10米，等你再度追到乌龟第二次的位置时，乌龟又往前跑了一米，你再追到它，它又跑了0.1米。总之，虽然你每次追上它前一刻的位置，你和它的距离就缩短一些，但总还不是零，这样你就永远都追不上乌龟。

当然上面讲的两个故事都只是故事而已。首先还没有外星人访问地球，而且即使有，它的那个办法也很难奏效。原因是如果把地球全部知识编成一串数码，大概至少要几千亿位，把它变成小数要精确到小数点后几千亿位，没有什么技术在一根棒子上刻点可以达到那么高的精度。不过这只是数学故事，而不是物理故事。物理上实现不了的事在数学上到并不难。所以这个故事还算有那么一丝真实性吧

至于第二个故事则和直觉完全相反，经验知道只要兔子跑起来，追上乌龟是轻而易举的事。那么故事中的悖论应该怎么理解呢？其实这个悖论可以用另一个方法更简单地描述出来。

一个人在房间里永远走不到门口。为什么？因为这人走到一半距离时，还剩下一半距离，再走完剩下一半距离时，还剩下四分之一的距离，再走完剩下的一半时，还会剩下八分之一的距离。总而言之，虽然剩下的距离越来越短，但这人总是要走过无穷多段的距离才可以来到门口。

然而我们每天都走来走去，知道无论房间多么大，走到房门口都是轻而易举的事。这表明如果加起来的新距离越来越短的情况下，无穷段的距离加起来未必等于无穷长的距离。这种涉及无穷段距离的问题在数学上称为数列。一个数列的和是发散（就是等于无穷）还是趋于一个确定的数是一个数列的关键属性。虽然人们无法真正体会无穷数列中的每一项，但数列之和研究的结果却和人的真实体验是一致的，这一结果算是对无穷多与无穷小这两个只存在于想象中的概念的正确性做了一个有利的背书。

作者: 阿弥 时间: 4-9-2020 08:13
所以其实还是常识比较正确吗？

作者: 行者之心 时间: 4-9-2020 09:59

阿弥发表于 4-9-2020 08:13
所以其实还是常识比较正确吗？

有时是这样的。许多骗人的陷阱如果受害人多一点常识就可能避免上当

作者: 仙人掌1975 时间: 11-9-2020 13:31
本帖最后由仙人掌1975 于 11-9-2020 13:36 编辑

1,棒子的精度是有限的，不是无限连续的。最多精确到刻度点两侧原子个数。

2,其实是自我论证循环。在你追上兔子之前，你是追不上兔子的。
而且距离也不是可以无限分割的，小到原子尺度，距离的概念就不成立了。

作者: 行者之心 时间: 11-9-2020 14:15

仙人掌1975 发表于 11-9-2020 13:31
1,棒子的精度是有限的，不是无限连续的。最多精确到刻度点两侧原子个数。

2,其实是自我论证循环。在你追 ...

在我们这个宇宙中，是的。纳米以下的刻度恐怕就接近极限了。

作者: 仙人掌1975 时间: 11-9-2020 21:52
补充一下，全宇宙的原子总数，大概是10的80次方。

如果把全宇宙的原子一字排开，作成了外星人的根子，全长记作1，哪么每个原子代表的就 10的80次方之一。

按照外星人的计数方法，这个数最多记到小数点后80位。也就是80个数字，

80个数字的编码，连记录我这段文字都不够。

作者: 行者之心 时间: 11-9-2020 23:03

仙人掌1975 发表于 11-9-2020 21:52
补充一下，全宇宙的原子总数，大概是10的80次方。

如果把全宇宙的原子一字排开，作成了外星人的根子，全 ...

有道理，所以这个只是说说而已

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