苏丝红 发表于 24-11-2013 10:00:48

求助一道幾何題

求證：用任意四邊形的四條邊為直徑，向四邊形內畫的四個半圓能覆蓋四邊形面積。

shyaka 发表于 24-11-2013 15:36:35

本帖最后由 shyaka 于 24-11-2013 16:38 编辑

这个很简单。
javascript:;
如图所示，四边形内任意一点P到四边形的四个顶点作连线，形成了4个角：APB,BPC,CPD,DPA。

首先是基础知识：
当圆的直径的两端点和任意一个点Q形成的以Q点为顶点的角度=90°时，Q在半圆上；
当圆的直径的两端点和任意一个点Q形成的以Q点为顶点的角度<90°时，Q在半圆外；
当圆的直径的两端点和任意一个点Q形成的以Q点为顶点的角度>90°时，Q在半圆内；

然后开始证明：
因为角APB+角BPC+角CPD+角DPA=360°；
所以这4个角中至少有一个角>=90°；

因为底边AB,BC,CD,DA是四个圆的直径；
所以P点必在其中一个半圆内或半圆上；

因为P点是四边形内任意一点；
所以这四个半圆覆盖了整个四边形。

苏丝红 发表于 24-11-2013 16:00:16

因为底边AB,BC,CD,DA是四个圆的直径；
所以P点必在其中一个半圆内或半圆上；
這個可以理解， 不過如何得出：
因为P点是四边形内任意一点；
所以这四个半圆覆盖了整个四边形？

腦子愚笨，請再指教。

苏丝红 发表于 24-11-2013 16:06:49

突然明白了，謝謝

苏丝红 发表于 24-11-2013 16:18:18

shyaka人才！:good

Tbaussie 发表于 24-11-2013 16:26:55

:qiang:qiang:qiang

superopengl 发表于 24-11-2013 20:22:06

楼上的证法不严密，没有证明XPY为锐角时的情况。

我的证法：
连对角线AC，从B引垂线交AC于Q，从D引垂线交AC与P。至此四边形被分为四个直角三角形。

因圆上任意一点与直径必为直角三角形，得出点P比在圆AD和圆CD上，点Q比在圆AB和圆BC上。

得证。

shyaka 发表于 24-11-2013 22:47:00

superopengl 发表于 24-11-2013 21:22 static/image/common/back.gif
楼上的证法不严密，没有证明XPY为锐角时的情况。

我的证法：


XPY为锐角是指？。。。

你这样也可以，不过你漏了一种四边形，即有一个角>180°的四边形。这种四边形的P点和Q点在四边形外面。。。

superopengl 发表于 25-11-2013 00:12:10

shyaka 发表于 24-11-2013 21:47 static/image/common/back.gif
XPY为锐角是指？。。。

你这样也可以，不过你漏了一种四边形，即有一个角>180°的四边形。这种四边形的 ...

只要是凸四边形，P、Q都在四边形内。凹四边形面积 ＜ 三角形 ＜ 凸四边形。

Dux 发表于 25-11-2013 01:42:44

shyaka 发表于 24-11-2013 16:36 static/image/common/back.gif
这个很简单。
javascript:;
如图所示，四边形内任意一点P到四边形的四个顶点作连线，形成了4个角：APB,BP ...

因为角APB+角BPC+角CPD+角DPA=360°；
所以这4个角中至少有一个角>=90°；
同理必有一角<=90°
假设角APB为锐角，则P在半圆外。
未得证。
因为P点是四边形内任意一点；
所以这四个半圆覆盖了整个四边形。
最后一步似乎跨度太大了？这个方法似乎只能证明四边形内任意一点P必在以其中一个边为直径的半圆内/上。

shyaka 发表于 25-11-2013 10:42:45

Dux 发表于 25-11-2013 02:42 static/image/common/back.gif
同理必有一角

只要在一个半圆上或内就行了。你说的“似乎。。。”不就是题目要被证明的东西么？。。。。

苏丝红 发表于 25-11-2013 11:42:42

坛子里高人多啊:zan:zan:zan

Tbaussie 发表于 25-11-2013 11:48:31

本帖最后由 Tbaussie 于 25-11-2013 12:50 编辑

Dux 发表于 25-11-2013 02:42 static/image/common/back.gif
同理必有一角

已经证明完了，锐角可以忽略

钝角：已经证明了任何一个点都在某一个半圆内，则所有点都在四个半圆的某一个半圆内。
锐角：任何一个点都在某一个半圆外，根本没有意义，因为不能也没必要证明是否也不再另三个半圆内，只要证明在某一个半圆内就好了

对否？

苏丝红 发表于 25-11-2013 21:21:06

superopengl 发表于 24-11-2013 21:22 static/image/common/back.gif
楼上的证法不严密，没有证明XPY为锐角时的情况。

我的证法：


你這種方法簡單易懂，多謝！不過確實在凹四邊形時較難推理。
shyaka的方法是證明四邊形中任一點在任一半圓中。
P一定不包括在形成銳角那一邊的半圓中，但一定在形成鈍角那一邊的半圓中，或落在形成直角那一邊半圓的圓周上。

Dux 发表于 25-11-2013 22:19:44

shyaka 发表于 25-11-2013 11:42 static/image/common/back.gif
只要在一个半圆上或内就行了。你说的“似乎。。。”不就是题目要被证明的东西么？。。。。

哦还真的是，哈哈，学习了！ :yct_4

Dux 发表于 25-11-2013 22:29:18

Tbaussie 发表于 25-11-2013 12:48 static/image/common/back.gif
已经证明完了，锐角可以忽略

钝角：已经证明了任何一个点都在某一个半圆内，则所有点都在四个半圆的 ...

对的，谢谢解释。热心的朋友 :yct_3
页: [1]
查看完整版本: 求助一道幾何題